Question

求通过直线l:2x+y+4=0及圆C:x²+y²+2x-4y+1=0的交点,并且有最小面积的圆的方程.

Answer 1

思路分析:对于直线与圆的位置关系,一般不求直线与圆的交点,而用圆心到直线距离来处理直线与圆的问题.

解法一:画出如图4-2-6示意图,圆的方程为(x+1)²+(y-2)²=4.

图4-2-6

设直线l与圆C交于A、B两点,D为AB的中点,则直线CD的方程为x-2y+5=0,

由解得D().

∴CD=,AD=4-.

∵以D为圆心,AB为直径的圆是面积最小的圆,

∴所求方程是(x+)²+(y-)²=.

解法二:设圆的方程是(x²+y²+2x-4y+1)+λ(2x+y+4)=0,即

［x+(1+λ)］²+(y+)²=,

则此圆面积为S=π=π［(λ-)²+］,

∴当λ=时,圆面积最小,此时圆的方程是5x²+5y²+26x-12y+37=0.

  绿色通道:圆中的最值问题一般都要利用数形结合思想进行求解.根据圆的性质,寻找最值取得的条件而求解,涉及所求的圆是经过直线与圆或圆与圆的交点时,也可利用圆系方程来求解,这样较为简便.