Question

已知F（x）=dt，（x＞0）．
（1）求F（x）的单调区间；
（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出．再利用导数，研究F'（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
（2）根据F（x）的单调性，分别求出F（1）、F（2）、F（3）的值并比较大小，可得F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=-6，最小值是．
解答：解：依题意得，，
定义域是（0，+∞）．（2分）
（1）F'（x）=x²+2x-8，
令F'（x）＞0，得x＞2或x＜-4； 令F'（x）＜0，得-4＜x＜2，
且函数定义域是（0，+∞），
∴函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．（6分）
（2）令F'（x）=0，得x=2（x=-4舍），
由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，
且，，F（3）=-6，
∴F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=-6，最小值是．（10分）
点评：本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值．着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题．