Question

已知f(x)是二次函数，当x＝2时有最大值16，它的图象截x轴所得的线段长为8，求f(x)的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：[方法1]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)， 　　由函数图象截x轴所得线段长为8，令f(x)＝ax2＋bx＋c＝0， 　　设该方程的两根为x1、x2， 　　则|x1－x2|＝8，即(x1－x2)2＝64． 　　整理，得(x1＋x2)2－4x1x2＝64， 　　由韦达定理，可得 　　()2－4·＝64，即＝64　　① 　　依题意，又有＝2　　② 　　＝16　　③ 　　联立①②③三式可得a＝－1，b＝4，c＝12． 　　∴f(x)＝－x2＋4x＋12． 　　[方法2]设f(x)＝a(x－2)2＋16，即 　　f(x)＝ax2－4ax＋16＋4a， 　　又设方程f(x)＝0的两根为x1、x2，则有|x1－x2|＝8，即 　　(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝64， 　　∴a＝－1． 　　∴f(x)＝－x2＋4x＋12． 　　[方法3]依题意可知函数图象的对称轴为直线x＝2，由于它的图象截x轴所得的线段长为8， 　　则该函数与x轴的两个交点的横坐标分别为－2，6． 　　则可设f(x)＝a(x＋2)(x－6)，由f(2)＝16得 　　a(2＋2)(2－6)＝16，解得a＝－1． 　　∴f(x)＝－x2＋4x＋12． 　　思路分析：二次函数的解析式有三种设法，在解题时应抓题设的特征以选择适当的方法，达到快速、准确求解的目的．一般情况下，设二次函数的一般式是常用方法．由于本题中出现了二次函数的顶点坐标，则也可设二次函数的顶点式．又本题中出现了二次函数与x轴的交点坐标，则也可设二次函数的零点式．