Question

正三棱柱ABC－A₁B₁C₁底面边长及高都为2，过AB作一个与底面成60°角的截面

(1)求截面面积

(2)求直线BC与截面成角的大小

(3)求点A₁到截面的距离

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)过C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点，CD＝ 　　∵CC1/CD＝2/ 　　∴∠CDC1＜60°，过AB作的截面与CC1的交点E必在CC1的延长线上，设截面交A1C1、B1C1分别为Q、P，则梯形ABPQ面积S即为所求，CE＝CDtan60°＝3，S＝(QP＋AB)RD/2＝16/9 　　(3)过C作CH⊥DE于H，∵平面CED⊥平面ABPQ，交线为DR 　　∴CH⊥平面ABPQ，∠CBH即为CB与截面ABPQ成角　CH＝CDsin60°＝3/2 　　sin∠CBH＝CH/CB＝3/4，CB与截面ABPQ成角为arcsin 　　(3)方法一：因A1Q∶QC1＝2∶1，A1到截面的距离为C1到截面距离的2倍，过C1作C1K⊥DE于H，C1K即为C1到面ABE的距离，C1K＝C1Rsin60°＝1/2，A1到截面的距离为1 　　方法二：棱柱A1－QPE的高h即为所求，据VA－QPE＝VE－AQP，解得h＝1 　　说明：该题第一问容易错将截面当成三角形而求错；求空间量的试题一般有：“(作出)——证出——指出——求出”四个步骤要点，容易在此点上丢三落四；本题的(3)还蕴涵了等价转换的思想方法．