Question

已知动点P与双曲线-=1的两个焦点F₁、F₂的距离之和为定值2a(a＞)，且cos∠F₁PF₂的最小值为-.

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)若已知D(0，3)，M、N在动点P的轨迹上，且=λ，求实数λ的取值范围.

 

Answer 1

解：(1)由题意知c²=5,

    设|PF₁|+|PF₂|=2a(a＞)，由余弦定理得cos∠F₁PF₂

=-1.

    又|PF₁|·|PF₂|≤()²=a²,

    当且仅当|PF₁|=|PF₂|时，|PF₁|·|PF₂|取最大值，此时cos∠F₁PF₂取最小值-1,

    令-1=-a²=9.

∵c=,∴b²=4.

    故所求点P的轨迹方程为+=1.

(2)设N(s,t)、M(x,y)，则由=λ，可得(x,y-3)=λ(s,t-3)，故x=λs,y=3+λ(t-3),

∴M、N在动点P的轨迹上.故=1且=1.

    消去s得=1-λ²,

    解得t=.又|t|≤2,

∴||≤2.解得≤λ≤5.

    故λ的取值范围是［，5］.