Question

7．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求三棱锥E-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）设AB，CD交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，由FA=FC可得AC⊥FO，故而AC⊥平面BDEF；
（2）根据菱形的性质计算OA，BD，DE，∠BDE，得出S_△BDE，则V_E-ABD=V_A-BDE=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}$•OA．

解答 （1）证明：设AB∩CD=O，连接DF，OF
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵AF=CF，O为AC的中点，
∴AC⊥OF，
又∵BD?平面BDEF，OF?平面BDEF，BD∩OF=O，
∴AC⊥平面BDEF．
（2）解：四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，
∴DE=BD=2，∠BDE=120°，OA=$\sqrt{3}$．
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}BD×DE×sin120°$=$\sqrt{3}$，
由（1）得AC⊥平面BDEF，
所以AO⊥平面BDEF，
∴V_E-ABD=V_A-BDE=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}$•OA=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．

点评 本题考查了线面垂直的判定，菱形的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．