Question

数列{a_n}的前n项和为S_n,已知a₁=1,a_n+1=S_n.

求证:(1)数列{}是等比数列;

(2)S_n+1=4a_n.

Answer 1

解析:已知a_n+1与S_n之间的关系,研究S_n需将a_n+1换成S_n+1-S_n表示,从而解答.

证明:(1)∵a_n+1=S_n+1-S_n=S_n,

∴S_n+1=S_n,即=2·.

∴{}是等比数列,公比为2.

(2)由(1)知=·2^n-1=a₁·2^n-1=2^n-1,

∴S_n=n·2^n-1,

S_n+1=(n+1)·2ⁿ.

由a_n+1=S_n=·n·2^n-1=(n+2)·2^n-1,

知当n≥2时,a_n=(n+1)·2^n-2,

当n=1时,a₁=1适合上式.

∴a_n=(n+1)·2^n-2.

∴S_n+1=4a_n成立.