Question

求证：函数f(x)＝－x²＋mx＋m(m≥2)在(－∞，1]上是增函数．

Answer 1

答案：
解析：

解：设x1＜x2≤1，则 　　f(x1)－f(x2)＝(－x12＋mx1＋m)－(－x22＋mx2＋m) 　　＝m(x1－x2)－(x12－x22) 　　＝(x1－x2)(m－x1－x2)． 　　∵x1＜x2≤1，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜2． 　　又∵m≥2，∴m－x1－x2＞0． 　　∴f(x1)＜f(x2)． 　　∴函数f(x)＝－x2＋mx＋m(m≥2)在(－∞，1]上是增函数．

提示：

思路分析：本题主要考查函数的单调性．利用函数单调性的定义证明． 　　绿色通道：定义法证明函数单调性的步骤：①在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1＜x2；②比较f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；③再归纳结论．定义法证明函数的单调性的步骤可以总结为：一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”，因此简称为：“去比赛”．此法适合于主观题．