Question

已知数列{a_n}的各项均为正值，a₁=1，对任意n∈N^*，a_n+1²-1=4a_n（a_n+1），b_n=log₂（a_n+1）都成立．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）当k＞7且k∈N^*时，证明对任意n∈N^*，都有成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，得（a_n+1+2a_n+1）（a_n+1-2a_n-1）=0，应有a_n+1=2a_n+1，整理为a_n+1+1=2（a_n+1），通过等比数列{a_n+1}的通项求出
数列{a_n}的通项公式，再利用对数的计算法则求{b_n}的通项公式；
（2）由（1）c_n=a_n•b_n=n•（2ⁿ-1），要求数列{c_n}的前n项和T_n，先分组再利用错位相消法和公式法求和．
（3）法1：设，
从而，利用不等式，即当且仅当x=y时等号成立推证．
法2：=，合理分组进行分式放缩推证．
解答：解：（1）由，得（a_n+1+2a_n+1）（a_n+1-2a_n-1）=0
∵数列{a_n}的各项均为正值，a_n+1+2a_n+1＞0，∴a_n+1=2a_n+1，整理为a_n+1+1=2（a_n+1）
又a₁+1=2≠0∴数列{a_n+1}为等比数列，
∴∴数列{a_n}的通项公式，
数列{b_n}的通项公式．
（2）由（1）c_n=a_n•b_n=n•（2ⁿ-1）
所以T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n）
令T_n′=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①
则2T_n′=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得-T_n′=1•2¹+2²+2³+2⁴+…++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2
（3）法1：设
∴
当x＞0，y＞0时，，
∴∴当且仅当x=y时等号成立．
∴上述（1）式中，k＞7，n＞0，n+1，n+2，…，nk-1全为正，
∴
∴
法2∵
=
=
=
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．解题时要注意构造法的合理运用．