Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜．
（1）当x∈（0，x₁）时，证明x＜f （x）＜x₁；
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x对称，证明x＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂，所以构造函数，当x∈（0，x₁）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差
x₁-f（x），化简分析出f（x）＜x₁，即可．
（2）．方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂，函数f（x）的图象，关于直线x=x对称，利用放缩法推出x＜；
解答：证明：（Ⅰ）令F（x）=f（x）-x．因为x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
当x∈（0，x₁）时，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，又a＞0，得
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜f（x）．
x₁-f（x）
=x₁-[x+F（x）]
=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
因为
所以x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0．
得x₁-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x₁．
（Ⅱ）依题意知
因为x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，即x₁，x₂是方程ax²+（b-1）x+c=0的根．
∴，
因为ax₂＜1，所以．
点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．