Question

设f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,求a的值.

Answer 1

思路分析:因为函数的图象关于直线对称，所以有①直线x=-过图象的波峰或波谷（因原函数可化为正弦型函数y=sin(2x+φ);②f(-+x)=f(--x)对任何实数x恒成立.根据①或②有以下解法：

解法一:f(x)= sin(2x+φ),其中cosφ=,sinφ=,

    又∵f(x)=sin2x+acos2x的图象关于x=-对称,

∴当x=-时,f(x)取最值.

∴f(-)=±,

    即sin(-)+acos(-)=(a-1)=±,两边平方,

    解得a=-1.

解法二:(特殊值法)

∵已知函数图象关于x=-对称,点(0,0)与(-,0)关于x=-对称,

∴f(0)=f(-),

    即sin0+acos0=sin(-)+acos(-),

∴a=-1,而当a=-1时,f(x)=sin(2x-),x=-是它的一条对称轴,

    故取a=-1.

解法三:(定义法)

∵图象关于x=-对称,

∴sin2(-+x)+acos2(-+x)

=sin2(--x)+acos2(--x),

∴2cossin2x=-2asinsin2x,

∴a=-1.