Question

设f(x)=

cosx

cos(30°-x)

，则f（1°）+f（2°）+…+f（60°）=

179 3

6

．

Answer 1

分析：先求出f（x）+f（60°-x）的值，然后令s=f（1°）+f（2°）+…+f（59°），s=f（59°）+f（58°）+…+f（2°）+f（1°），利用倒序相加法，将角度之和为60°的两项结合（如f（1°）+f（59°））化简整理求出值，最后再计算出f（60°）的值，即可得到所求式子的值．

解答：解：∵f(x)=

cosx

cos(30°-x)

，
∴f（x）+f（60°-x）=

cox

cos(30°-x)

+

cos(60°-x)

cos(x-30°)

=

cosx+cos(60°-x)

cos(x-30°)

=

2cos(30°)cos(x-30°)

cos(x-30°)

=

3

令s=f（1°）+f（2°）+…+f（59°），…①
s=f（59°）+f（58°）+…+f（2°）+f（1°），…②
①+②得：2s=[f（1°）+f（59°）]+[f（2°）+f（58°））]+…+[f（59°）+f（1°）]
=59

3

，
∴s=

59

2

3

，即f（1°）+f（2°）+…+f（59°）=

59 3

2

，
又f（60°）=

cos60°

cos(30°-60°)

=

1 2

3 2

=

3

3

，
则f（1°）+f（2°）+…+f（59°）+f（60°）=

59 3

2

+

3

3

=

179 3

6

．
故答案为：

179 3

6

点评：本题考查三角函数的恒等变形及化简求值，解题的关键是利用数列求和中的倒序相加法求f（1°）+f（2°）+…+f（59°）的值，难点在于将角度之和为60°的两项结合化简，是中档题．