Question

某厂生产某种产品x（百台），总成本为C（x）（万元），其中固定成本为2万元，每生产1百台，成本增加1万元，销售收入R(x)=

4x- 1 2 x2- 1 2 ，0≤x≤4 7.5，x＞4.

（万元），假定该产品产销平衡．
（1）若要该厂不亏本，产量x应控制在什么范围内？
（2）该厂年产多少台时，可使利润最大？
（3）求该厂利润最大时产品的售价．

Answer 1

分析：由题意写出成本函数，则收入函数减去成本函数即可得到利润函数．
（1）由利润函数大于等于0，分段求解x的取值范围，取并集得答案；
（2）分段求解利润函数的最大值，取各段最大值中的最大者；
（3）（2）中求出了利润最大时的x的值，把求得的x值代入

R(x)

x

得答案．

解答：解：由题意得，成本函数为C（x）=2+x，
从而利润函数L(x)=R(x)-C(x)=

3x-0.5x2-2.5，0≤x≤4 5.5-x，x＞4.

．
（1）要使不亏本，只要L（x）≥0，
当0≤x≤4时，L（x）≥0⇒3x-0.5x²-2.5≥0⇒1≤x≤4，
当x＞4时，L（x）≥0⇒5.5-x≥0⇒4＜x≤5.5．
综上，1≤x≤5.5．
答：若要该厂不亏本，产量x应控制在100台到550台之间．
（2）当0≤x≤4时，L（x）=-0.5（x-3）²+2，
故当x=2时，L（x）_max=2（万元），
当x＞4时，L（x）＜1.5＜2．
综上，当年产300台时，可使利润最大．
（3）由（2）知x=3，时，利润最大，此时的售价为P=

R(3)

3

=2.33（万元/百台）=233元/台．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了分段函数的最值得求法，分段函数的最值要分段求，该题属中档题．