Question

过原点的直线l与抛物线y=x²-2ax（a＞0）所围成的图形面积为

9

2

a3，求直线l的方程．

Answer 1

分析：设l的方程为：y=kx，将直线与抛物线方程联解，得到两交点的横坐标分别为0与2a+k．由此分2a+k≥0与2a+k＜0两种情况讨论，根据定积分计算公式与微积分的几何意义建立关于a、k的方程，解出k值即可得到所求直线l的方程．

解答：解：设l的方程为：y=kx，由

y=kx y=x2-2ax

，解得x=0或x=2a+k
（1）若2a+k≥0，则可得
S=

∫

2a+k 0

(kx-x2+2ax)dx=

(k+2a)3

6

=

9

2

a3，解之得k=a．
∴所求直线l方程为：y=ax．
（2）若2a+k＜0，则可得
S=

∫

0 2a+k

(kx-x2+2ax)dx=-

(k+2a)3

6

=

9

2

a3，解之得k=-5a
∴所求直线l方程为：y=-5ax．
综上所述，直线l的方程为y=ax或y=-5ax．

点评：本题给出直线与抛物线围成的封闭图形的面积，求直线的方程．着重考查了直线与圆锥曲线的关系、微积分计算公式和微积分的几何意义等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．