Question

若(a+

1

4

x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，其中

a2

a3

=

3

4

；
（1）求实数a的值；
（2）求(a0+22a2+24a4+…+210a10)2-(2a1+23a3+25a5+…+29a9)2的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，由二项式定理求出a₂、a₃的值，代入

a2

a3

=

3

4

中，可得关于a的方程，解可得答案；
（2）用赋值法，令x=2可得a0+2a1+22a2+23a3+…+210a10=0，令x=-2可得a0-2a1+22a2-23a3+…+210a10=1，再设A0=a0+22a2+…+210a10，A1=a1+23a3+…+29a9
将其代入(a0+22a2+24a4+…+210a10)2-(2a1+23a3+25a5+…+29a9)2中即可得答案．

解答：解：（1）根据题意，若(a+

1

4

x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，
则a₂=C₁₀²=a⁸（-

1

4

）²，a₃=C₁₀³a⁷（-

1

4

）³，
又由

a2

a3

=

3

4

，则有

a2

a3

=

C 2 10 a8(- 1 4 )2

C 3 10 a7(- 1 4 )3

=-

3

2

a，
解可得a=-

1

2

；
（2）对于(a+

1

4

x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，
令x=2可得，a0+2a1+22a2+23a3+…+210a10=0
令x=-2可得，a0-2a1+22a2-23a3+…+210a10=1
设A0=a0+22a2+…+210a10，A1=a1+23a3+…+29a9
∴A₀+A₁=0，A₀-A₁=-1，
则(a0+22a2+24a4+…+210a10)2-(2a1+23a3+25a5+…+29a9)2=

A

2 0

-

A

2 1

=(A0+A1)(A0-A1)=0

点评：本题考查二项式定理的应用，解（2）的关键在于巧妙的运用赋值法，注意常见的赋值技巧．