Question

设函数f（x）=（1+x）²+ln（1+x）²．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若当x∈[﹣1，e﹣1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；

（3）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：

综合题；压轴题；导数的综合应用．

分析：

（1）确定函数定义域，求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；

（2）确定函数在[﹣1，e﹣1]上的单调性，从而可得函数的最大值，不等式，即可求得实数m的取值范围；

（3）方程f（x）=x²+x+a，即x﹣a+1﹣ln（1+x）²=0，记g（x）=x﹣a+1﹣ln（1+x）²．求导函数，确定函数在区间[0，2]上的单调性，为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，从而可建立不等式，由此可求实数a的取值范围．

解答：

解：（1）函数定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），

因为=，

由f′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或x＞0，由f′（x）＜0得x＜﹣2或﹣1＜x＜0．

∴函数的递增区间是（﹣2，﹣1），（0，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2），（﹣1，0）．

（2）由f′（x）==0得x=0或x=﹣2．由（1）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，e﹣1]上递增．

又f（﹣1）=+2，f（e﹣1）=e²﹣2，

∴=＞0

∴e²﹣2＞+2．所以x∈[﹣1，e﹣1]时，[f（x）]_max=e²﹣2．故m＞e²﹣2时，不等式f（x）＜m恒成立．

（3）方程f（x）=x²+x+a，即x﹣a+1﹣ln（1+x）²=0，记g（x）=x﹣a+1﹣ln（1+x）²．

所以g′（x）=1﹣=．

由g′（x）＞0，得x＜﹣1或x＞1，由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜1．

所以g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，

为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，于是有

，∴，

∴2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．

点评：

本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题．