Question

写出下列全称命题的否定，并判断其否定的真假：

(1)所有的矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；

(3)x∈R，x²－2x＋1≥0．

Answer 1

答案：
解析：

　　答案：(1)命题的否定是：“并非所有的矩形都是平行四边形”，也即“存在一个矩形不是平行四边形”．由于矩形一定是平行四边形，是平行四边形的特殊情况，因此，“不存在一个矩形不是平行四边形”，所以，命题的否定是假命题．

　　(2)命题的否定是：“并非每一个素数都是奇数”，也即“存在一个素数不是奇数”．由于2是素数，但2不是奇数，所以，命题的否定为真命题．

　　(3)命题的否定是：“并非所有的x∈R，x²－2x＋1≥0”，

　　也即“x∈R，x²－2x＋1＜0”．

　　由于“x²－2x＋1＝(x－1)²≥0”，

　　因此，“不存在x∈R，使得x²－2x＋1＜0”．

　　所以命题的否定是假命题．

　　解：全称命题的否定，一般是在全称量词前面加上“并非”；或把全称量词改为存在量词的同时对判断词进行否定．全称命题的否定是存在性命题，对存在性命题真假的判断同例2．