Question

已知a₁=b₁=1，a_n+1=b_n+n，b_n+1=a_n+（-1）ⁿ，n∈N^*．
（1）求a₃，a₅的值；
（2）求通项公式a_n；
（3）求证：

Answer 1

【答案】分析：（1）根据a_n+1=b_n+n，b_n+1=a_n+（-1）ⁿ，可知a₃=a₁+1，a₅=a₃+3求得答案．
（2）分别看数列项数为奇数和偶数时，利用叠加法求得通项公式a_n；
（3）分别看n为奇数和偶数时，把（2）中求得的通项公式代入中，利用裂项法证明原式．
解答：解：（1）b₂=a₁-1=0，∴a₃=b₂+2=2，a₅=a₃+3=5；
（2）由题意，a₃=a₁+1，a₅=a₃+3，，a_2n-1=a_2n-3+（2n-3），
∴；
同理，a_2n=n²+n，∴；
（3）当n≥3时，，
而，∴

点评：本题主要考查了数列的递推式求数列的通项公式和求和问题．考查了学生数列问题的综合把握．