Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)=f(x)，且f(－x)=－f(x)，当xÎ (0，1)时，．

(1)求f(x)在[－1，1]上的解析式．

(2)证明f(x)在(0，1)上是减函数．

(3)当λ取何值时，方程f(x)=λ在[－1，1]上有解．

Answer 1

答案：略
解析：

根据xÎ (0，1)时函数的解析式及条件f(－x)=－f(x)，可求出xÎ (－1，0)时函数的解析式．根据f(－x)=－f(x)又可求出f(0)的值．怎样求f(－1)、f(1)呢？需用条件f(x＋2)=f(x)．为了研究方程f(x)=λ在[－1，1]有解，可转化为求函数f(x)在[－1，1]上的值域． (1)设xÎ (－1，0)，则－xÎ (0，1)． ∵f(－x)=－f(x)，且xÎ (0，1)时，，∴xÎ (－1，0)时，有． 在f(－x)=－f(x)中， 令x=0，得f(－0)=－f(0)f(0)=0． ∵f(x＋2)=f(x)，f(－x)=－f(x)，令x=－1，得f(－1＋2)=f(－1)，f(－1)=－f(1)， ∴f(1)=－f(1)f(1)=0，从而f(－1)=0． ∴当xÎ [－1，1]时有 (2)设， ． ∵，∴．∴，． 又∵，，∴，即，∴． ∴f(x)在(0，1)上是减函数． (3)方程f(x)=λ在[－1，1]上有解的充要条件是，λ在函数f(x)，xÎ [－1，1]的值域内取值． ∵xÎ (0，1)时，是减函数． ∴xÎ (0，1)时，f(0)＞f(x)＞f(1)，． ∵f(－x)=－f(x)，∴xÎ (－1，0)时，． 又f(－1)=f(0)=f(1)=0，∴时，函数f(x)的值域为． ∴当，或λ=0或时，方程f(x)在[－1，1]上有解． 在第(1)问中，利用函数的一般性质求解在特殊点的函数值是解题中的一种重要方法和技巧．在第(3)问中，应用了“函数方程思想”．