Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosC+c=2b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a²=3bc，求tanB的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据2acosC+c=2b，由正弦定理结合和角的正弦公式化简，即可求角A的大小；
（Ⅱ）由A=

π

3

及余弦定理得b²+c²-bc=a²=3bc，可得

b

c

=2±

3

，再分类求解，即可求tanB的值．

解答：解：（Ⅰ）∵2acosC+c=2b，
∴由正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB
=2sin（A+C）=2（sinAcosC+cosA sinC），
即sinC（2cosA-1）=0．
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，从而得A=

π

3

．                     …（6分）
（Ⅱ）由A=

π

3

及余弦定理得b²+c²-bc=a²=3bc，
即b²+c²-4bc=0，
∴

b

c

=2±

3

．
当

b

c

=2+

3

时，
又sinC=sin（

2π

3

-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB，
故

b

c

=

sinB

sinC

=

tanB

3 2 + 1 2 tanB

=2+

3

，
∴tanB=2+

3

．
当

b

c

=2-

3

时，同理得tanB=2-

3

．
综上所述，tan B=2+

3

或2-

3

．　　　　　　　　　　  　…（14分）

点评：本题主要考查正、余弦定理、三角变换，同时考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．