Question

已知函数

   （1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；

   （2）若在定义域上有两个极值点、，证明：

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）＝－lnx－ax²＋x，

f¢（x）＝－－2ax＋1＝－．                                                                                …2分

令Δ＝1－8a．

当a≥时，Δ≤0，f¢（x）≤0，f（x）在（0，＋∞）单调递减．                                      …4分

当0＜a＜时，Δ＞0，方程2ax²－x＋1＝0有两个不相等的正根x₁，x₂，

不妨设x₁＜x₂，

则当x∈（0，x₁）∪（x₂，＋∞）时，f¢（x）＜0，当x∈（x₁，x₂）时，f¢（x）＞0，

这时f（x）不是单调函数．

综上，a的取值范围是[，＋∞）．                                                                                     …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈（0，）时，f（x）有极小值点x₁和极大值点x₂，

且x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．

f（x₁）＋f（x₂）＝－lnx₁－ax＋x₁－lnx₂－ax＋x₂

＝－（lnx₁＋lnx₂）－（x₁－1）－（x₂－1）＋（x₁＋x₂）

＝－ln（x₁x₂）＋（x₁＋x₂）＋1＝ln（2a）＋＋1．                                                       …9分

令g（a）＝ln（2a）＋＋1，a∈（0，]，

则当a∈（0，）时，g¢（a）＝－＝＜0，g（a）在（0，）单调递减，

所以g（a）＞g（）＝3－2ln2，即f（x₁）＋f（x₂）＞3－2ln2．                                …12分