Question

已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线x²=2py上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦.

(Ⅰ)当O′点运动时，|MN|是否有变化?并证明你的结论；

(Ⅱ)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)设O′(x₀,y₀),则=2py₀(y₀≥0)则①O′的半径|O'A|= 

①O′的方程为(x-x₀)²+(y-y₀)²=+(y₀-p)²令y=0,并把=2py₀代人得x²-2x₀x+-p²=0, 

解得x₁=x₀-p,x₂=x₀+p,∴|MN|+|x₁-x₂|=2p, 

∴|MN|不变化,为定值2P. 

(Ⅱ)不妨设M(x₀-p,0),N(x₀+p,0)由题2|OA|=|OM|+|ON|得2p=|x₀-p|+|x₀+p|  

∴-p≤x₀≤p 

∵O′到抛物线准线y=的距离d=y₀+

①O′的半径|O'A|==

∵r＞d+4p⁴＞(+p²)²＜p²：

又≤p²＜p²(p＞0) 

故r＞d,即①O′与抛物线的准线总相交.