Question

如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G． (1) 求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示) (2) 求点A1到平面AED的距离

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：如图所示建立空间直角坐标系，坐标原点为C，设CA=2a．则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1=(2a，0，2)，E(a，a，1)，G(，，)． 　　∴=(，，)，=(0，－2a，1)∴·=－a2＋=0，解得a=1．∴=(2，－2，2)，=(，－，)， 　　∴cos∠A1BG= 　　　　　　　 =＝．
(2)	方法一：由(1)得A(2，0，0)，A1(2，0，2 )，E(1，1，1)，D(0，0，1)． 　　·=(－1，1，1)·(－1，－1，0)=0， 　　·=(0，0，2)·(－1，－1，0)=0． 　　易知，点A1在平面AED的射影K在AE上． 　　设=λ，则 　　=→＋=(－λ，λ，λ－2)． 　　由·=0，即λ＋λ＋λ－2=0，解得λ=∴=(－，－)，∴｜｜=．故A1到平面AED的距离为． 　　方法二：建立空间直角坐标系O－zyz后有=(2，0，－1)，=(1，1，0)，=(0，0，2)． 　　设n=(x，y，z)是平面AED的法向量，则 　　 　　取x=1，则n=(1，－1，2)， 　　∴点A1到平面AED的距离为 　　d= 　　 　　＝． 　　点评：在空间直角坐标系中，若已知三角形三个顶点的坐标，则其重心的坐标分别为三个顶点相应坐标的算术平均数，这对本题的获解十分关键．