Question

如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，

|DM|

|DP|

=

3

2

，当点P在圆x²+y²=4上运动时，
（1）求：动点M的轨迹E的方程； 
（2）若B（-2，0），C（1，0），A是曲线E上的一个动点，求：

AB

•

AC

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点M在DP的延长线上，

|DM|

|DP|

=

3

2

，确定M，P坐标之间的关系，P的坐标代入圆的方程，即可求动点M的轨迹E的方程； 
（2）利用向量的数量积公式，求出

AB

•

AC

，再利用配方法，即可求出

AB

•

AC

的取值范围．

解答： 解：（1）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），
则x=x0，y=

3y0

2

，即x0=x，y0=

2y

3

①
∵P（x₀，y₀）在圆上，
∴x02+y02=4②
将①代入②得

x2

4

+

y2

9

=1(x≠±2)
∴动点M的轨迹方程为

x2

4

+

y2

9

=1(x≠±2)
（2）设点A的坐标为（x，y），则

AB =(-2-x，-y)， AC =(1-x，-y) AB • AC =x2+x-2+y2

∵点A在椭圆

x2

4

+

y2

9

=1(x≠±2)上
∴

AB

•

AC

=x2+x-2+y2=-

5

4

x2+x+7(-2＜x＜2)
∴

AB

•

AC

的取值范围为（0，

36

5

]．

点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，正确运用代入法是关键．