Question

把函数y=lnx-2的图象按向量a=(-1，2)平移得到函数y=f(x)的图象.

(1)若x＞0，证明：f(x)＞；

(2)若不等式x²≤f(x²)+m²-2bm-3时x∈［-1，1］都恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

证：(1)由题设得f(x)=ln(x+1)，

令g(x)=f(x)-=ln(x+1)-则g′(x)=＞0.

∴g(x)在(0，+∞)上是增函数，又g(x)在x=0处连续，

∴g(x)＞g(0)=0，即f(x)＞.

(2)原不等式等价于x²-f(x)²≤m²-2bm-3，

    令h(x)=x²-f(x²)=x²-ln(1+x²)，则h′(x)=x-，

    令h′(x)=0得 x=0，x=1，x=-1，列表如下：

x	-1	(-1，0)	0	(0，1)	1
h′(x)	0	+	0	-	0
	极小值-ln2	↗	极大值0	↙	极小值-ln2

∴当x∈［-1，1］时，h(x)_max=0，∴m²-2bm-3≥0.

    令Q(b)=-2mb+m²-3，则Q(1)=m²-2m-3≥0，Q(-1)=m²+2m-3≥0.

    得m≤-3或m≥3.