Question

4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：
（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？
（4）男生甲不排头女生乙不排尾坐法有多少种？

Answer 1

分析：（1）4名同学相邻可以把四名男生作为一个元素，和3名女生共有四个元素排列，有A₄⁴=24种结果，其中四名男生内部还有一个排列，共有A₄⁴A₄⁴种结果．
（2）3名女生不能相邻，可以先排列男生，有A₄⁴种结果，再在男生写出的5个空中排列3名女生，有A₅³种结果，根据分步计数原理知共有A₄⁴A₅³种结果．
（3）四名男生作为一个元素，三名女生作为一个元素，两个元素的排列共有A₂²种结果，再排他们内部的顺序，根据分步计数原理共有A₄⁴A₃³A₂²种结果．
（4）用间接法，在所用7个元素排列的基础之上减去男生甲排头或女生乙在排尾的情况，共有A₇⁷-2A₆⁶+A₅⁵=3720种结果．

解答：解：（1）由题意，可以把四名男生作为一个元素，和3名女生共有四个元素排列，
再排4个男生的内部顺序：共有A₄⁴A₄⁴=576种结果
（2）由题意，可以先排列男生，有A₄⁴种结果，
再用插空法排女生，共有A₄⁴A₅³=1440种结果．
知可以分成两种情况甲站在右端有A₅⁵=120种结果，
（3）由题意，可以将四名男生作为一个元素，三名女生作为一个元素，两个元素的排列共有A₂²种
再排他们内部的顺序，有A₄⁴A₃³种结果，
根据分步计数原理，共有A₄⁴A₃³A₂²=288种结果．
（6）首先把7名同学全排列，共有A₇⁷种结果，
再减去不符合题意的情况：男生甲排头A₆⁶种情况和女生乙在排尾A₆⁶种情况，
还要加上男生甲在排头且女生乙在排尾的情况：A₅⁵
所以一共有A₇⁷-2A₆⁶+A₅⁵=3720种结果．

点评：本小题考查排列组合及简单的计数问题，是一道中档题．解决本题解题的关键是不相邻问题采用插空法，相邻问题采用捆绑法，指定元素优先考虑法和间接法等等．