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    如图△ABC为正三角形，边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆．
    （1）若
    CD
    =
    1
    3
    DB
    ，求|
    AD
    |    ；
    （2）PQ为圆A的任意一条直径，求
    BP
    •
    CQ
    的最大值．
    分析：（1）先将向量
    AD
    用向量
    AC
    与
    CB
    线性表示，然后根据|
    a
    | =
    |a|
     2
    进行求解；
    （2）
    BP
    •
    CQ
    可转化成
    BP
    •
    CQ
    = (
    BA
    +
    AP
    )(
    CA
    +
    AQ
    )    ，然后展开化简，可得
    BP
    •
    CQ
    =1+
    AQ
    •
    BC
    =1+2cosθ（其中θ为
    AQ
    与
    BC
    的夹角），最后根据三角形函数求出最值．
    解答：解：（1）∵
    CD
    =
    1
    3
    DB
    ，
    ∴
    AD
    =
    AC
    +
    1
    4
    CB

    ∴|
    AD
    |=
    		(
    AC
    +
    1
    4
    CB
    )      2
    =
    13
    4
    =
    		13
    2
    ；
    （2）
    BP
    •
    CQ
    = (
    BA
    +
    AP
    )(
    CA
    +
    AQ
    )
    =1+
    AQ
    (
    BA
    -
    CA
    )
    =1+
    AQ
    •
    BC

    =1+2cosθ（其中θ为
    AQ
    与
    BC
    的夹角）
    所以θ=0时，
    BP
    •
    CQ
    的最大值为3．
    点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及向量的模和向量的基本运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，S是边长为a的正三角ABC所在平面外一点，SA=SB=SC=a，E、F是AB和SC的中点，则异面直线SA与EF所成的角为
    45°
    45°
    ．

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    科目：高中数学 来源：湖南省涟源市第一中2008届高三第二次月考文科数学试题 题型：044

    如图，已知正三棱柱A1B1C1－ABC的底面边长为3a，侧棱长为，延长CB到D，使CB＝BD．

    (1)求证：直线C1B∥平面AB1D；

    (2)求平面AB1D与平面ACB所成的二面角的大小；(结果用反三角表示)

    (3)求点C1到平面AB1D的距离．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本小题满分12分）

    如图，在三棱锥D－ABC中，已知△BCD是正三角

    形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E为BC的中点，

    F在棱AC上，且AF＝3FC．

    （1）求三棱锥D－ABC的表面积；

    （2）求证AC⊥平面DEF；

    （3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，

    使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不

    存在，试说明理由．

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    科目：高中数学 来源：正定中学2010高三下学期第一次考试（数学理） 题型：解答题

    （本小题满分12分）

    如图，在三棱锥D－ABC中，已知△BCD是正三角

    形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E为BC的中点，

    F在棱AC上，且AF＝3FC．

    （1）求三棱锥D－ABC的表面积；

    （2）求证AC⊥平面DEF；

    （3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，

    使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不

    存在，试说明理由．

     

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年重庆市杨家坪中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版） 题型：填空题

    如图，S是边长为a的正三角ABC所在平面外一点，SA=SB=SC=a，E、F是AB和SC的中点，则异面直线SA与EF所成的角为    ．

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