Question

（2010•河东区一模）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x＞0时有

x•f′(x)-f(x)

x2

＜0，则不等式x²•f（x）＞0的解集是（　　）

A．（-2，0）∪（2，+∞）

B．（-∞，-2）∪（0，2）

C．（-2，0）∪（0，2）

D．（-2，2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：首先根据商函数求导法则，把

xf′(x)-f(x)

x2

＜0化为[

f(x)

x

]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=

f(x)

x

在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-∞，0）内的正负性．则x²f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．

解答：解：因为当x＞0时，有

xf′(x)-f(x)

x2

＜0恒成立，即[

f(x)

x

]′＜0恒成立，
所以

f(x)

x

在（0，+∞）内单调递减．
因为f（2）=0，
所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
所以答案为（-∞，-2）∪（0，2）．
故选B．

点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．