Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．

（1）证明：AB^D₁F；

（2）求AE与D₁F所成的角；

（3）证明面AED^面A₁FD₁；

 

Answer 1

答案：
提示：

（1）证明：∵ AC1是正方体，∴ AD^面DC1．又D1FÌ面DC1，∴ AD^D1F． （2）解：取AB中点G，连结A1G、FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则ÐAHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以RtDA1AG≌RtDABE，ÐGA1A=ÐGAH，从而ÐAHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角． （3）证明：由（1）知AD^D1F，由（2）知AE^D1F，又，所以D1F^面AED．又因为D1F面A1FD1，所以面AED^面A1FD1．