Question

已知点A、B的坐标分别是（0，-1）、（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-．
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点D（0，2）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F，试求△OEF面积的取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出点M的坐标，写出直线AM、BM的斜率，由斜率之积为-列式求M得轨迹方程；
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系写出两交点横坐标的和与积，把△OEF的面积转化为△OED与△OEF的面积的差，然后代入根与系数关系，换元后利用基本不等式求最值．
解答：解：（1）设点M的坐标为（x，y），
∵，∴．
整理得，；
（2）由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+2．
联立，得（2k²+1）x²+8kx+6=0．
由△=64k²-4×6（2k²+1）＞0，解得．
设E（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则．
S_△OEF=S_△OED-S_△OFD=
==．
令，所以．
则=．
所以．
点评：本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，利用根与系数关系解题是该类问题常用的方法，此题有一定难度．