Question

设a＞2,给定数列{x_n},其中x₁=a,x_n+1=(n∈N^*).求证:

(1)x_n＞2,且x_n+1＜x_n(n∈N^*);

(2)如果2＜a≤3,那么x_n≤2+(n∈N^*).

Answer 1

证明:(1)使用数学归纳法证明x_n＞2.

当n=1时,x₁=a＞2命题成立;假设当n=k(k∈N^*)时命题成立,即x_n＞2.

当n=k+1时,x_n+1-2==＞0,即x_n+1＞2.

综上,对一切n∈N^*,有x_n＞2.

当x_n＞2时,==＜=1.所以x_n+1＜x_n(n∈N^*).

(2)因为x_n＞2,所以=1∈(0,1).

故x_n+1-2==(x_n-2)()＜(x_n-2)(n∈N^*).

由此可得x_n-2≤(x_n-1-2)≤(x_n-2-2)≤…≤(x₁-2)=(a-2),

x_n≤2+.

所以当2＜a≤3时,x_n≤2+(n∈N^*).