Question

已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.

(1)求椭圆的方程;

(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上, ,求直线的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）或

【解析】

试题分析：（1）由题意可设，所求椭圆的方程为，且其离心率可由椭圆的方程知，因此，解之得，从而可求出椭圆的方程为.

（2）由题意知，所求直线过原点，又椭圆短半轴为1，椭圆的长半轴为4，所以直线不与轴重合，即直线的斜率存在，可设直线的斜率为，直线的方程为，又设点、的坐标分别为、，分别联立直线与椭圆、的方程消去、可得，，又得，即，所以，解得，从而可求出直线的直线方程为或.

试题解析：(1)由已知可设椭圆的方程为 

其离心率为,故,则 

故椭圆的方程为        5分

(2)解法一  两点的坐标分别记为 

由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,

因此可以设直线的方程为 

将代入中,得,所以 

将代入中,则,所以 

由,得,即 

解得,故直线的方程为或         12分

解法二  两点的坐标分别记为 

由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,

因此可以设直线的方程为 

将代入中,得,所以 

由,得, 

将代入中,得,即 

解得,故直线的方程为或.

考点：1.椭圆、直线方程；2.向量运算.