Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=．E、F分别为PA、PD的中点．
（1）求证：EF∥面PBC；
（2）求证：PA⊥平面ABCD；
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用线面平行的判定定理证明．
（2）利用线面垂直的判定定理证明．
（3）利用锥体的体积公式计算．
解答：证明：（1）∵E、F分别为PA、PD的中点
∴EF∥AD
又∵BC∥AD
∴EF∥BC------------（2分）
且EF?面PBC，BC?面PBC
∴EF∥面PBC------------（3分）
（2）∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
∴PD²=PA²+AD²，
∴PA⊥AD------------（5分）
又∵PA⊥CD，AD∩CD=D
∴PA⊥平面ABCD-----------（6分）
（3）由（2）知PA⊥平面ABCD，所以四棱锥P-ABCD的高PA=1，
又∵底面是边长为1的正方形，
∴---------（8分）
点评：本题主要考查考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．