Question

（2013•郑州二模）已知函数f（x）=

1

2

x-cosx则方程f（x）=

π

4

所有根的和为

π

2

．

Answer 1

分析：利用导数研究函数y=f（x）的单调性，可得f（x）=

1

2

x-cosx在（-

π

6

，

7π

6

）上是增函数，结合f（

π

2

）=

π

4

得到在（-

π

6

，

7π

6

）上有且只有一个实数x=

π

2

满足f（x）=

π

4

．再由cosx的有界性和不等式的性质，证出当x≤-

π

6

时，有f（x）＜

π

4

，且x≥

7π

6

时，f（x）＞

π

4

．因此当x∉（-

π

6

，

7π

6

）时，方程f（x）=

π

4

没有实数根，由此即可得到方程f（x）=

π

4

只有一实数根x=

π

2

，得到本题答案．

解答：解：∵f（x）=

1

2

x-cosx，∴f'（x）=

1

2

+sinx，
当x∈（-

π

6

，

7π

6

）时，因为sinx＞-

1

2

，所以f'（x）=

1

2

+sinx＞0
∴f（x）=

1

2

x-cosx在（-

π

6

，

7π

6

）上是增函数
∵f（

π

2

）=

1

2

•

π

2

-cos

π

2

=

π

4

∴在区间（-

π

6

，

7π

6

）上有且只有一个实数x=

π

2

满足f（x）=

π

4

．
又∵当x≤-

π

6

时，

1

2

x＜-

π

12

，-cosx≤1，∴当x≤-

π

6

时，f（x）=

1

2

x-cosx≤1-

π

12

＜

π

4

，
由此可得：当x≤-

π

6

时，方程f（x）=

π

4

没有实数根
同理可证：当x≥

7π

6

时，方程f（x）≥

7π

6

-1＞

π

4

，所以方程f（x）=

π

4

也没有实数根
综上所述，方程f（x）=

π

4

只有一个实数根x=

π

2

，因此方程f（x）=

π

4

所有根的和为

π

2

故答案为：

π

2

点评：本题给出基本初等函数f（x）=

1

2

x-cosx，求方程f（x）=

π

4

所有根的和．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的图象与性质、函数的零点和不等式的性质等知识，属于中档题．