Question

已知定义域为R函数f(x)=(x-1)²，g(x)=4(x-1)，数列{a_n}满足a₁=2，(a_n+1-an)g(a_n)+f(a_n)=0(n∈N*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n=3f(a_n)-g(a_n+1)，求数列{b_n}的最值及相应的n．

Answer 1

解：(1)f(a_n)=(a_n-1)²，g(a_n)=4(a_n-1)

∵(a_n+1-a_n)·4(a_n-1)+(a_n-1)²=0

∴(a_n-1)(4a_n+1-3a_n-1)=0

∵a₁=2，∴a_n≠1,4a_n+1-3a_n-1=0

∴a_n+1-1=(a_n-1)，a₁-1=1

数列{a_n-1}是首项为1，公比为的等比数列

∴a_n-1=()^n-1，a_n=()^n-1+1

(2)b_n=3(a_n-1)²-4(a_n+1-1)=3[()^n-1]²-4()ⁿ=3{[()^n-1]²-()^n-1}

令b_n=y,u=()^n-1，

则y=3{(u-)²-}=3(u-)²-

∵n∈N^*,∴u(n)递减，其值分别为1,，…，

经比较距最近，

∴当n=3时，b_n有最小值是，

当n=1时，b_n有最大值是0．