Question

17．下列四个命题：
①圆（x+2）²+（y+1）²=4与直线x-2y=0相交，所得弦长为2；
②直线y=kx与圆（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1恒有公共点；
③“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件．
④若棱长为$\sqrt{2}$的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$π．
其中，正确命题的序号为②④．写出所有正确命的序号）

Answer 1

分析 由直线过圆心求得弦长判断①；由直线与圆均过原点判断②；由充分必要条件的判定方法判断③；由正四面体外接球的半径是正四面体高的$\frac{3}{4}$求出正四面体外接球的半径，进一步求得外接球的体积判断④．

解答 解：①直线x-2y=0经过圆（x+2）²+（y+1）²=4的圆心，直线交圆所得弦长为4，故①错误；
②圆（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1的圆心坐标为（cosθ，sinθ），到原点的距离为1，说明圆（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1恒过原点，而直线y=kx恒过原点，
∴直线y=kx与圆（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1恒有公共点，故②正确；
③当a=2时，直线ax+2y=0平行于直线x+y=1．当直线ax+2y=0平行于直线x+y=1时，有a=2．
∴“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充要条件，故③错误；
④棱长为$\sqrt{2}$的正四面体的高为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则其外接球的半径为$\frac{3}{4}×\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，体积为$\frac{4}{3}π×$$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$π，故④正确．
∴正确命题的序号是②④．
故答案为：②④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查直线与圆的位置关系，考查充分必要条件的判定方法，掌握正四面体外接球的半径与高的关系是解答④的关键，是中档题．