Question

7．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=3，S₅=25．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{{S_n}•{S_{n+1}}}}}$，n∈N^*，记数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d．运用等差数列的通项公式，可得首项和公差的方程，解方程即可得到所求通项公式；
（2）由等差数列的求和公式，可得S_n，计算${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{{n^2}•{{（n+1）}^2}}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d．
∵a₂=3，S₅=25，∴${a_1}+d=3，\frac{{5（2{a_1}+4d）}}{2}=25$，
解得 a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，n∈N₊．
（2）证明：∵a_n=2n-1，
∴前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1），
即${S_n}={n^2}$，
∴${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{{n^2}•{{（n+1）}^2}}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$1-\frac{1}{n+1}＜1$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．