Question

16．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²（a、b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处有极值为10，求b的值；
（2）若a=-4，f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）先对函数求导f'（x）=3x²+2ax+b，由题意可得f（1）=10，f′（1）=0，结合导数存在的条件可求
（2）问题转化为b≥-3x²+8x在x∈[0，2]恒成立，从而有b≥（-3x²+8x）_max，根据函数的单调性求出b的范围即可．

解答 解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b，
若函数f（x）在x=1处有极值为10，
则 $\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a+b=0}\\{f（1）=1+a+b{+a}^{2}=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
当 $\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$时，f'（x）=3x²+8x-11，
△=64+132＞0，所以函数有极值点；
当 $\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$时，f′（x）=3（x-1）2≥0，
所以函数无极值点；
则b的值为-11．
（2）a=-4时，f（x）=x³-4x²+bx+16，
f'（x）=3x²-8x+b≥0对任意的x∈[0，2]都成立，
即b≥-3x²+8x，x∈[0，2]，
令h（x）=-3x²+8x，对称轴x=$\frac{4}{3}$，
函数h（x）在[0，$\frac{4}{3}$）递增，在（$\frac{4}{3}$，2]递减，
故h（x）_max=h（$\frac{4}{3}$）=$\frac{16}{3}$，
故b≥$\frac{16}{3}$，
则b的最小值为$\frac{16}{3}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，利用构造函数的思想把恒成立转化为求解函数的最值问题，要注意构造思想在解题中的应用．