Question

已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____．

Answer 1

答案：略
解析：

解：由题意构造四个命题： (1)①②③④；(2)①②④③；(3)①③④②；(4)②③④①． 对于(1)，给出图形，如图(1)，平面α⊥平面β，直线n⊥β，假定mβ，则满足m⊥n，但m是β内的任意一条直线，它与平面α的位置关系既可心是平行，也可以是相交，特殊位置还可以在平面内(此时直线m与l重合)．∴命题(1)不正确． 对于(2)，给出图形，如图(2)，平面α⊥平面β，m⊥平面α，n平面α，则必有m⊥n，但由于n是平面α内的任意一条直线，可知它与平面β的位置关系也不确定．∴命题(2)也不正确． 对于(3)，如图(1)，已知m⊥α，n⊥β，m⊥n，求证：α⊥β． 在直线m上任取一点P，经过P作一直线PB∥n，与平面β交于点B， ∵m⊥n，n⊥β，∴PB⊥m，PB⊥β． 又设直线m与直线α的交点为A，由PA、PB确定的平面设为γ，则α∩γ=CA，β∩γ=CB． 由于l⊥PA，l⊥PB，且PA∩PB=P，∴l⊥γ． ∵CA平面γ，∴l⊥AC，l⊥BC． 在平面四边形ACBP中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA⊥PB， 即四边形ACBP为矩形． ∴AC⊥CB． 由两个平面垂直的定义可知，平面α⊥平面β，∴命题(3)正确． 对于(4)，如图(2)，已知α⊥β，m⊥α，n⊥β，求证m⊥n． 设α∩β=α，在平面β内作直线l⊥α，则l⊥α．又m⊥α，∴l∥m． ∵n⊥β，l平面β，∴n⊥l．∴n⊥m．∴命题(4)也正确． ∴应填①③④②或②③④①．