Question

设数列｛a_n｝的前n项和为S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根为S_n－1，n＝1，2，3，…．

(Ⅰ)求a₁，a₂；

(Ⅱ)猜想数列{S_n}的通项公式，并给出严格的证明．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1， 　　于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝． 　　当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－， 　　于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝． 　　(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0． 　　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　① 　　由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝． 　　由①可得S3＝． 　　由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…． 　　下面用数学归纳法证明这个结论． 　　(i)n＝1时已知结论成立． 　　(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，由①得Sk+1＝，即Sk+1＝， 　　故n＝k＋1时结论也成立． 　　综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．