Question

已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）的图象在点（2，f）处切线的倾斜角为45°，且对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不为单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．

专题：

综合题；压轴题．

分析：

（1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．

（2）对函数求导，求出函数的单调区间，根据函数的单调区间得到若f（x）在[1，2]上不单调，只要极值点出现在这个区间就可以，得到对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，从而求m的取值范围．

解答：

解：（1），

a＞0时，f（x）在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）单调递减；

a＜0时，f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增；

a=0时，f（x）不是单调函数．

（2）由f′（2）=1得a=﹣2，所以f（x）=﹣2lnx+2x﹣3，则，

故g′（x）=3x²+（m+4）x﹣2

因为g（x）在（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2，

∴．

由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，

综上，．

m的取值范围为：．

点评：

本题考查了函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．