Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2-2a2x+

1

3

(a≠0)
（1）若a=-2，求f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在区间[-1，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数y=f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的方法是：先求出函数y=f（x）在（a，b）内的极值；再将函数y=f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．据此可求出函数y=f（x）的最值．
（2）若f（x）在区间[-1，1]上是减函数，则在[-1，1]上必有f^′（x）≤0，据此可求出a的取值范围．

解答：解：f^′（x）=）=x²-ax-2a²．
（1）当a=-2时，f(x)=

1

3

x3+x2-8x+

1

3

．
∴f^′（x）=x²+2x-8，令f^′（x）=0，得x=2或x=-4（舍去）．
∴在区间[0，2）上，f^′（x）＜0；在区间（2，3]上，f^′（x）＞0．
∴f（x）在区间[0，2）上单调递减，在区间（2，3]上单点递增．
∴函数f（x）在x=2处取得极小值f（2）=-9，也即最小值是-9．
又f（0）=

1

3

，f（3）=-

17

3

，∴f（3）为最大值．
∴f（x）在区间[0，3]上的最大值是

1

3

，最小值是-9．
（2）要使f（x）在区间[-1，1]上是减函数，只须在区间[-1，1]上，f^′（x）≤0．
又f^′（x）=（x-2a）（x+a），令f^′（x）=0，则x=2a或x=-a．
①当a＞0时，有2a＞-a，要使f^′（x）≤0，则只须

-a≤-1 2a≥1

，所以a≥1．
②当a＜0时，有2a＜-a，要使f^′（x）≤0，则只须{

2a≤-1 -a≥1

，所以a≤-1．
综上，实数a的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）．

点评：本题考查的是闭区间[a，b]上的函数最值，通过先对函数求导求出其极值，然后再与端点处的函数值相比较，则最大者是最大值，最小者是最小值．同时要注意分类讨论的思想方法．