Question

已知f（x）=-4cos2x+4

3

sinxcosx
（1）求f（x）取得最大值时x的集合，和f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在[-

π

4

，

π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=-4cos2x+4

3

sinxcosx化为：f（x）=4sin（2x-

π

6

）-2，继而可求f（x）取得最大值时x的集合，和f（x）的单调递减区间；
（2）由f（x）=4sin（2x-

π

6

）-2可求其周期，当x∈[-

π

4

，

π

6

]，可求得2x-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

6

]，从而可求f（x）在[-

π

4

，

π

6

]上的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=-4cos2x+4

3

sinxcosx
=-2（1+cos2x）+2

3

sin2x
=4sin（2x-

π

6

）-2，
当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

3

（k∈Z）时，f（x）取得最大值2；
∴f（x）取得最大值2时x的集合为：{x|x=kπ+

π

3

（k∈Z）}；
当2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）即kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

时，f（x）=4sin（2x-

π

6

）-2单调递减，
∴f（x）=4sin（2x-

π

6

）-2单调递减区间为：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z），
（2）∵f（x）=4sin（2x-

π

6

）-2，
∴其最小正周期T=π，
∵x∈[-

π

4

，

π

6

]，2x-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

6

]，
∴-1≤sin（2x-

π

6

）≤

1

2

，-6≤4sin（2x-

π

6

）-2≤0，
即f（x）在[-

π

4

，

π

6

]上的值域为：[-6，0]．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查三角函数的单调性与最值及其求法，属于中档题．