Question

曲线y=

1-x2

与直线y=k（x-1）+2有两个交点时，实数k的取值范围是（　　）

• A．

  3

  4

  ≤k＞1
• B．

  3

  4

  ＜k≤1
• C．

  3

  4

  ≥K≥1
• D．1≥k＜

  3

  4

Answer 1

分析：数形结合来求，因为曲线y=

1-x2

表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分，y=k（x-1）+2是过定点（1，2）的直线，只要把该直线平行移动，看k为何时直线与曲线y=

1-x2

有两个交点即可．

解答：解：∵y=

1-x2

表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分，
作出曲线y=

1-x2

的图象，在同一坐标系中，再作出过定点（1，2）的直线，由左向右
逆时针转动，
可发现，直线先与圆相切，切点为N（如图），直线l从AN开始逆时针转动，l与曲线有二个交点，到AM结束，
∵O到切线AN的距离d=

|2-k|

1+k2

=1，
∴k=

3

4

，
又直线AM的斜率为：k_AM=

1-(-1)

2-0

=1，
∴实数k的取值范围是则

3

4

＜k≤1．
故选B．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，着重考查了数形结合求直线与曲线交点个数的问题，属于中档题．