Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

(1)求证：BD⊥FG；

(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由．

(3)当二面角B－PC－D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一：(Ⅰ)面ABCD，四边形ABCD是正方形， 　　其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD 　　∴BD⊥平面APC，平面PAC， 　　∴BD⊥FG　　3分 　　(Ⅱ)当G为EC中点，即时，FG∥平面PBD　　4分 　　理由如下： 　　连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE， 　　而FG平面PBD，PB平面PBD， 　　故FG∥平面PBD　　7分 　　(Ⅲ)作BH⊥PC于H，连结DH， 　　∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形， 　　∴PB＝PD， 　　又∵BC＝DC，PC＝PC， 　　 　　方法二解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD的边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，a)(a＞0)， 　　(Ⅰ) 　　 　　　　3分 　　(Ⅱ)要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP， 　　而， 　　由可得，解得 　　　　6分 　　 　　故当时，FG∥平面PBD　　7分 　　设平面PBC的一个法向量为 　　则，而 　　 　　∴PC与底面ABCD所成角的正切值是　　12分