Question

已知直线y=kx+1与曲线y=lnx有公共点，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：直线y=kx+1与曲线y=lnx有公共点，等价于方程kx+1=lnx在x＞0时，有解，即k=

lnx-1

x

有解，构造函数f（x）=

lnx-1

x

，利用导数求出函数的取值情况，即可求出k的取值范围．

解答：解：∵直线y=kx+1与曲线y=lnx有公共点，
∴等价于方程kx+1=lnx在x＞0时，有解，
即k=

lnx-1

x

有解，
构造函数f（x）=

lnx-1

x

，
则f'（x）=

1 x •x-(lnx-1)

x2

=

2-lnx

x2

，
由f'（x）＞0，解得0＜x＜e²，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0，解得x＞e²，此时函数单调递减，
∴当x=e²时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e²）=

lne2-1

e2

=

2-1

e2

=

1

e2

，
∴f（x）≤

1

e2

，
∴k≤

1

e2

，
即实数k的取值范围是k≤

1

e2

．
故答案为：k≤

1

e2

．

点评：本题主要考查函数零点的应用，利用条件构造函数，利用导数是解决本题的关键，综合性较强．