Question

已知函数（为实常数）.

(1)若，求证：函数在上是增函数；

(2)求函数在上的最小值及相应的值；

(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

解：（1）当时，，当，，

故函数 在上是增函数．………………………………………………4分

（2），当，．

若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．　……………………………………5分

若，当时，；当时，，此时

是减函数； 当时，，此时是增函数．

故．

若，在上非正（仅当，x=e时，），

故函数在上是减函数，此时．………………………………7分

综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，

的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，

相应的x值为．…………………………………………………………………8分

（3）不等式，       可化为．

∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，

因而（）…………………………………………………………9分

令（），又，………………10分

当时，，，

从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，

故的最小值为，所以a的取值范围是． ……………………13分