Question

某公司为了帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(不计息)．已知：该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)的关系用下图中的一条折线表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元．

(1)如果当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数．

(2)如果该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品价定为多少元？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设该店每月的利润为S元，有职工m名，则 　　S＝q(p－40)×100－600m－13200． 　　又由题图可得q＝ 　　∴S＝ 　　由已知，当p＝52时，S＝0，即(－2×52＋140)(52－40)×100－600m－13200＝0， 　　解得m＝50，即此时该店有50名职工． 　　(2)由题意知 　　S＝ 　　当40≤p≤58时，求得p＝55时，S取得最大值7800(元)； 　　当58＜p≤81时，求得p＝61时，S取最大值6900(元)． 　　∴当p＝55时，S有最大值7800(元)． 　　设该店最早可在n年后还清所有债务，依题意， 　　12×7800×n－268000－200000≥0，得n≥5． 　　即该店最早可在5年后还清所有债务，此时消费品价格应定为每件55元．

提示：

(1)收支平衡的意义是利润＝收入－支出＝0，由图列出q关于p的关系式，求出利润，令利润等于0，解方程得；(2)建立函数模型，转化为求函数的最大值．