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    设动点到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C。

    （1）求点P的轨迹方程；

    （2）若圆心在曲线C上的动圆M过点A（0，2），试证明圆M与x轴必相交，且截x轴所得的弦长为定值。

     

    【答案】

    （Ⅰ）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线．

    ∵   ∴　∴　曲线方程是           ……………………5分

    （Ⅱ）设圆心为，∵圆过，

     

     

    ∴圆的方程为　　

    令得：

    ∵点在抛物线上，∴，

    又∵

    ∴圆与轴必相交                                 ………………9分

    设圆M与轴的两交点分别为E ，G

       ∵，　

    ∴

    ∴=4．即截得的弦长为定值．

    【解析】略

     

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    已知动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C．
    （1）求曲线C的方程；
    （2）设圆M过点A（0，2），且圆心M（a，b）在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E（x1，0）、G（x2，0），求线段EG的长度．

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    精英家教网设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
    （Ⅰ）求点P的轨迹方程；
    （Ⅱ）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知动点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线l：y+1=0的距离
    （1）求点M的轨迹方程
    （2）经过点F，倾斜角为30°的直线m交M的轨迹于A、B两点，求|AB|
    （3）设过点G（0，4）的直线n交M的轨迹于C（x1，y1），D（x2，y2），O为坐标原点．证明：OC⊥OD．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•茂名二模）在平面直角坐标系xoy中，动点M到定点F（0，
    1
    4
    ）的距离比它到x轴的距离大
    1
    4
    ，设动点M的轨迹是曲线E．
    （1）求曲线E的轨迹方程；
    （2）设直线l：x-y+2=0与曲线E相交于A、B两点，已知圆C经过原点O和A，B两点，求圆C的方程，并判断点M（0，4）关于直线l的对称点M′是否在圆C上．

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