Question

已知四边形PABC为空间四边形，∠PCA=90°，△ABC是边长为的正三角形，PC=2，D、E分别是PA、AC的中点，BD=.试判断直线AC与平面BDE的位置关系，并且求出二面角P-AC-B的大小.

Answer 1

解：∵D、E分别是PA、AC的中点，

∴DE∥PC且DE=PC=1.

∵∠PCA=90°,∴AC⊥DE.

∵△ABC是边长为的正三角形，并且E是AC的中点，

∴AC⊥BE，并且BE=3.

∵DE∩BE=E，∴直线AC与平面DEB垂直.

∴∠DEB为二面角P-AC-B的平面角.

在△BDE中，由DE=1，BE=3，BD=得DE²+BE²=BD²，∴∠DEB=90°.

综上所述，直线AC与平面BDE垂直，二面角P-AC-B的大小为90°.

【规律总结】 与二面角的棱垂直的平面和二面角的两个面相交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.利用作与棱垂直的平面得到二面角的方法称为“垂面法”.